1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+99*2^100=

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 15:44:46

设Sn=1*2^2+2*2^3+3^2^4+...+n*2^(n+1);----(1)
Sn/2=1*2^1+2*2^2+3*2^3+....+n*2^n;-----(2);
(1)-(2):
Sn-Sn/2=-2^1-2^2-2^3-...-2^n+n*2^(n+1);
Sn/2=n*2^(n+1)-2*[1+2^1+2^2+...+2^(n-1)]
Sn=n*2^(n+2)-4*[2^n-1]=n*2^(n+2)-2^(n+2)+4=(n-1)*2^(n+2)+4;
当n=99
Sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+99*2^100=98*2^101+4;

1+2^1+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1;(这是为什么呢?)
设Bn=1+2^1+2^2+...+2^(n-1)；
Bn=2*Bn-Bn=(2+4+8+...+2^n)-(1+2+4+...+2^n-1)=2^n-1;